Question

证明lim{[(2^n)*n!]/n^n}=0 n→∞

Answer 1

洛必达法则不能用，因为不是连续函数，不可求导。
正确的做法是
由stolz定理
设xn=n，yn=a^n.
lim
xn/yn
=
lim
(xn-x(n-1))/(yn-y(n-1)
=
lim
(n-(n-1))/(a^n-a^(n-1))=
lim
1/((a-1)(a^(n-1))),(n→∞,a>1)。
然后按定义就能做。
1/((a-1)(a^(n-1)))是最基本的要求用定义证明的数列，希望lz能自己完成。

Answer 2

可以设un={[(2^n)*n!]/n^n}
那么级数un可以由大朗贝尔判别法（比值审敛法）知
lim
u（n+1）/un=p
当p<1时，级数收敛，
u（n+1）/un={[(2^（n+1))*(n+1)!]/(n+1)^(n+1)}/{[(2^n)*n!]/n^n}
=2*n^n/(n+1)^n
lim
u（n+1）/un=lim
2*n^n/(n+1)^n=2*lim1/(1+1/n)^n=2/e
那么p=2/e<1
级数收敛
由级数收敛性质得
limun=0
即lim{[(2^n)*n!]/n^n}=0
ps：看高数第二本p197页
同济版