Question

高数无穷级数，求和函数

只求2（5），收敛域是（-1，1），求大神帮看看

Answer 1

在收敛域内，可以如图两次应用求积求导法及等比级数求和公式求出这个和函数。

Answer 2

不定积分，你都不用+C的啊！

由于S2（0）=0

根据这个条件确定C=1/4

然后就可以约分了，你再试试！！

Answer 3

可以写开分别求，
利用 1＋x＋x²＋x³＋........＝1/(1-x)，
得 ∑nxⁿ＝x / (1-x)²，
∑ xⁿ/n＝ - ln(1-x)，
所以和函数为 x/(1-x)² - ln(1-x) 。

Answer 4

2（5） f(x) = ∑<n=1,∞>[(n^2+1)/n]x^n
= ∑<n=1,∞>nx^n + ∑<n=1,∞>x^n/n
= ∑<n=1,∞>(n+1)x^n - ∑<n=1,∞>x^n + ∑<n=1,∞>x^n/n
= [∑<n=1,∞>x^(n+1)]' - ∑<n=1,∞>x^n + ∫<0, x>[∑<n=1,∞>t^(n-1)]dt
= [x^2/(1-x)]' - x/(1-x) + ∫<0, x>dt/(1-t)
= x/(1-x)^2- x/(1-x) - ln(1-x) = x^2/(1-x)^2 - ln(1-x)
-1 < x < 1