Question

这道关于微积分的题怎么做呀！在线求过程！关于变上限积分函数的！图片第五题。

完整过程呀谢谢！

Answer 1

设f(x)的原函数为F(x)，F(x)的原函数为ψ(x)
∫0→2x xf(t)dt+2∫x→0 tf(2t)dt
=∫0→2x xf(t)dt +∫x→0 tdF(2t)
=∫0→2x xf(t)dt + tF(2t)|x→0 -∫x→0 F(2t)dt
=xF(t)|0→2x + tF(2t)|x→0 -1/2 ∫x→0 F(2t)d2t
=xF(2x)-xF(0)-xF(2x)-1/2 ∫2x→0 F(a)da
=-xF(0)-1/2ψ(a)|2x→0
=-xF(0)-1/2ψ(0)+1/2ψ(2x)
=2x³(x-1)

两边对x求导得-F(0)+F(2x)=8x³-6x²
再两边对x求导得 2f(2x)=24x²-12x
f(2x)=12x²-6x
所以f(x)=3x²-3x
f'(x)=6x-3
f'(x)=0时x=1/2
所以f(x)在[0，2]上的极值必在x=0，x=1/2，x=2当中取到
f(0)=0
f(1/2)=-3/4
f(2)=6
所以f(x)在[0，2]上的最大值为f(2)=6
最小值为f(1/2)=-3/4

追答

x∫0→2x f(t)dt+2∫x→0 tf(2t)dt=2x³(x-1)
两边同时对x求导得
∫0→2x f(t)dt+x(∫0→2x f(t)dt)'
+2(∫x→0 tf(2t)dt)'
=∫0→2x f(t)dt+x[f(2x)(2x)'-0f(0)]+2[0-xf(2x) (x)']
=∫0→2x f(t)dt =8x³-6x²
两边再对x求导
f(2x) (2x)'-0f(0)=2f(2x)=24x²-12x
f(2x)=12x²-6x
所以f(x)=3x²-3x

Answer 2

下载有道词典把题目照一下就有答案了。