Question

lim(2/π.arctanx)^x当x趋近正无穷的时候值是多少？

Answer 1

lim(x→∞)
(2/π*arctanx)^x
=e^lim(x→∞)
xln(2/π*arctanx)
=e^lim(x→∞)
ln(2/π*arctanx)/(1/x)
用洛必达法则得
=e^lim(x→∞)
1/[(x^2+1)arctanx]/(-1/x^2)
=e^-lim(x→∞)
x^2/[(x^2+1)arctanx]
=e^-lim(x→∞)
x^2/(x^2*arctanx+arctanx)
=e^-lim(x→∞)
1/[arctanx+(arctanx)/x^2]，取得极限
=e^-1/(π/2+0)
=e^(-2/π)
扩展资料：
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止
。
洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等。
参考资料来源：百度百科——洛必达法则

Answer 2

lim(x→∞)
(2/π*arctanx)^x
=e^lim(x→∞)
xln(2/π*arctanx)
=e^lim(x→∞)
ln(2/π*arctanx)/(1/x)
用洛必达法则得
=e^lim(x→∞)
1/[(x^2+1)arctanx]/(-1/x^2)
=e^-lim(x→∞)
x^2/[(x^2+1)arctanx]
=e^-lim(x→∞)
x^2/(x^2*arctanx+arctanx)
=e^-lim(x→∞)
1/[arctanx+(arctanx)/x^2],取得极限
=e^-1/(π/2+0)
=e^(-2/π)