如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE
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如图，延长AE到F，使EF=AE，连接DF。
在△ACE和△FDE中，
AE=EF，∠AEC=∠DEF，CE=DE
∴△ACE≌△FDE（SAS）
∴DF=AC=BD，∠F=∠FAC，∠C=∠FDC
∵AC=CD
∴∠CAD=∠ADC
∵∠ADB=∠C+∠CAD=∠FDC+∠ADC=ADF
在△ABD与△AFD中
AD=AD，∠ADB=∠ADF，BD=DF
∴△ABD≌△AFD（SAS）
∴∠BAD=∠FAD，
即AD平分角BAE。
在△ACE和△FDE中，
AE=EF，∠AEC=∠DEF，CE=DE
∴△ACE≌△FDE（SAS）
∴DF=AC=BD，∠F=∠FAC，∠C=∠FDC
∵AC=CD
∴∠CAD=∠ADC
∵∠ADB=∠C+∠CAD=∠FDC+∠ADC=ADF
在△ABD与△AFD中
AD=AD，∠ADB=∠ADF，BD=DF
∴△ABD≌△AFD（SAS）
∴∠BAD=∠FAD，
即AD平分角BAE。
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