Question

如何利用数列的通项公式写出数列中的任意一项？

Answer 1

只有通项公式是求不出来的。你可以想一下，一列数，虽然是有规律的，但你不知道它的第一个数，也不知道它们相邻数之间差多少，要求数列每个数是多少，跟本求不出来的，你可以思考一下，呵呵，希望对你有点帮助

Answer 2

近年的高考中出现了给出数列的解析式（包括递推关系式和非递推关系式）求通项公式的问题.对于这类问题学生感到困难较大.本文以例子介绍这类问题求通项公式的初等方法和技巧，以供教学参考.
1、叠加法
数列有形如an+1=an+f(n)的解析式，而f(1)+f(2)+……+f(n)的和是可求的，可用多式相加法求得an.
例1.在数列{an}中，a1=－1，an+1=
an+2n，求an（n≥2）.
解：由条件，a2=a1+2×1,a3=a2+2×2……，an=
an－1+n(n¬－1)，以上n－1个式子相加化简得：an¬¬=a1+n(n－1)=n¬¬2－n－1.
2、叠乘法
数列有形如an=f(n)•an－1的解析关系，而f(1)•f(2)……f(n)的积是可求的，可用多式相乘法求得an.
例2．在数列{an}中，
≥2），求
.
解：由条件
an－1,
这n－1个式子相乘化简得：
.
3、待定系数法
数列有形如
、b为常数）的线性递推关系，可用待定系数法求得an.
例3．在数列{an}中，
求
.
解：在
的两边同加待定数
，得
+（
－1）/3），令
得
数列{
是公比为3的等比数列,
∴an
=
4、分解因式法
当数列的关系式较复杂，可考虑分解因式和约分化为较简形式，再用其它方法求得an.
例4．已知
数列
满足
（n∈
），且有条件
≥2）.
解：由得：
对n∈
，
再由待定系数法得：
∴
5、求差法
数列有形如
的关系（非递推关系），可考虑用求差
后，再用其它初等方法求得
例5．设
是正数组成的数列，其前
项和为
，并且对于所有的自然数
与2的等差中项等于
与2的等比中项：
（1）写出数列
的前3项；
（2）求数列
的通项公式.
出题者的意图是：通过（1）问求出数列前3项再猜想出通项公式；（2）再用数学归纳法证明猜想正确.实际上用求差法求通项公式更简单.
解：（1）略
（2）由条件，得
即
①

②
①－②得
，
即
分解因式得
对于
∈
＞0，∴
∴
是公差为4的等差数列，
6、倒数法
数列有形如
的关系，可在等式两边同乘以
先求出
例6．设数列
满足
求
解：原条件变形为
两边同乘以
得
.
∵
∴
7、复合数列构成等差、等比数列法
数列有形如
的关系，可把复合数列化为等差数列或等比数列，再用其它初等方法求得
例7．在数列
中，
求
解：由条件
∴
∴
再用多式相加法可得：
8、循环法
数列有形如
的关系，如果复合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出
例8．在数列
中，
解：由条件
即
即每间隔6项循环一次.1998=6×333，
∴
9、开方法
对有些数列，可先求
再求
例9．有两个数列
它们的每一项都是正整数，且对任意自然数
、
、
成等差数列，
、
、
成等比数列，
解：由条件有：
由②式得：
③
④
把③、④代入①得：
，
变形得
）.
∵
＞0，∴
－
.
∴
是等差数列.因
∴
故