Question

已知函数f(x)=alnx-ax-3(a不等于0) 求函数f(x)的单调区间

Answer 1

1、f'(x)=a/x－a=[a(1－x)]/x
①当a=0时，此时f(x)=－3，是常数函数，不存在单调区间；
②当a>0时，函数f(x)在(0，1)上递增，在(1，＋∞)上递减；
③当a<0时，函数f(x)在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增

2、求证：[(ln2)/2]×[(ln3)/3]×[(ln4)/4]×…×[(lnn)/n]<1/n
证明：
设：g(x)=lnx－x＋1，则：g'(x)=(1－x)/x，则函数g(x)在(1，＋∞)上递减，
从而，当x>1时，函数g(x)<g(1)=0，即：当x>1时，恒有：lnx<x－1，则：
当n≥2时，有：(lnn)/n<(n－1)/n，依次取n=2，3，4，5，…，n，则得到：
(ln2)/2<1/2
(ln3)/3<2/3
(ln4)/4<3/4
(ln5)/5<4/5
…………
(lnn)/n<(n－1)/n
上述式子相乘，得：
[(ln2)/2]×[(ln3)/3]×[(ln4)/4]<(1/2)×(2/3)×(3/4)×…×[(n－1)/n]=1/n
即有：[(ln2)/2]×[(ln3)/3]×[(ln4)/4]×…×[(lnn)/n]<1/n

Answer 2

f(x)'=a/x-a=a(1-x)/x
当a>0时令f(x)'>0
即（1-x)/x>0
可求得其单调递增区间为（0,1）
令f(x)'<0可得其递减区间为（1，+无穷）
当a<0时令f(x)'>0
即（1-x)/x<0
可求得其单调递增区间为（1，+无穷）
令f(x)'<0可得其递减区间为（0,1)

Answer 3

先对函数求导，得a/x-a,然后令导函数等于零，解出x值，然后得出递增区间为（0,1],递减区间为[1,正无穷）