Question

在三角形ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinB（tanA+tanC)=tanAtanC。求证：a,b,c成等比数列。

Answer 1

证明：已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC，那么：
sinB(sinA/cosA
+
sinC/cosC)=(sinAsinC)/(cosAcosC)
即sinB(sinAcosC+cosAsinC)/(cosAcosC)=(sinAsinC)/(cosAcosC)
所以：sinBsin(A+C)=sinAsinC
又sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB，那么：
sin²B=sinAsinC
由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC可得：
b²=a*c
所以边a，b，c成等比数列。

Answer 2

第一个问题：
∵sinB（tanA＋tanC）＝tanAtanC，
∴sinB（sinA/cosA＋sinC/cosC）＝sinAsinC/（cosAcosC），
∴sinB（sinAcosC＋cosAsinC）＝sinAsinC，
∴sinBsin（A＋C）＝sinAsinC，∴sinBsin（180°－B）＝sinAsinC，∴（sinB）^2＝sinAsinC。
结合正弦定理，容易得出：b^2＝ac。
第二个问题：
∵b^2＝ac，又a＝1、c＝2，∴b^2＝1×2＝2，∴b＝√2。
由余弦定理，有：cosB＝（a^2＋c^2－b^2）/（2ac）＝（1＋4－2）/（2×1×2）＝3/4，
∴sinB＝√［1－（cosB）^2］＝√（1－9/16）＝√7/4。
∴S(△ABC)＝（1/2）acsinB＝（1/2）×1×2×（√7/4）＝√7/4。