Question

设A为n阶方阵，且A^k=0(k为正整数)，则A.

Answer 1

n阶方阵在复数域上有几个特征值呢?一定是n个,因为特征多项式|ae-a|是关于a的n次多项式,必有n个根.
总之,计入复根,则a必有n个特征值.
接下来如果特征值是a,那么由定义定有ax=ax
于是
a^kx=a^kx由本题知a^kx=0是零向量,一个数a^k乘以非零向量x为0.则a^k=0,a必为0(意味着特征值不可能为其他值,只能为0,否则与a^kx=0是零向量矛盾).又a有n个特征值,所以n个特征值全是0.
b选项说有一个是,那么其他的n-1个呢?由上边知,其他的也一定为零

Answer 2

设λ为a的特征值
则
λ^k
是
a^k
的特征值
而
a^k
=
0,
零矩阵的特征值只能是0
所以
λ^k
=
0
所以
λ
=
0.
即
a
的特征值只能为0
所以
(c)
a的特征值全为0
正确.
你那样只能推出a的全部特征值的乘积等于0,
a至少有一个特征值等于0.

Answer 3

A的特征值全为零
需两个知识点:
1.零矩阵的特征值只有零
2.若λ是A的特征值,g(x)是x的多项式,则
g(λ)
是
g(A)
的特征值
本题目的证明:
设λ是A的特征值,则λ^k是A^k的特征值
因为
A^k
=
0,而零矩阵的特征值只有零
所以
λ^k
=
0.
所以λ=0.
即A的特征值只能是0