Question

求x^2n/2n+1的和函数

Answer 1

具体回答如下：

∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=1

∴幂级数收敛域为x∈[-1,1)

根据题意，设y=x^(1/2)，

则x=y^2

(x^n)/(2n-1)=[y^(2n)]/((2n-1)=y[y^(2n-1)]/(2n-1)

设S=∑[y^(2n-1)]/(2n-1)(n=1,2,……n）

两边对y求导：S'=∑[y^(2n-2)]=1/(1-y)

S=C-ln(1-y)

在其收敛域内，对任意y均成立，令y=0，有C=0

幂级数x^n/(2n-1)的和=-(√x)ln(1-√x)

函数的意义：

设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界 。

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。

如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=1
∴幂级数收敛域为x∈[-1,1)
根据题意，设y=x^(1/2)，
则x=y^2
(x^n)/(2n-1)=[y^(2n)]/((2n-1)=y[y^(2n-1)]/(2n-1)
设S=∑[y^(2n-1)]/(2n-1)(n=1,2,……n）
两边对y求导：S'=∑[y^(2n-2)]=1/(1-y)
S=C-ln(1-y)
在其收敛域内，对任意y均成立，令y=0，有C=0
幂级数x^n/(2n-1)的和=-(√x)ln(1-√x)

Answer 4

解：∵ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=1，∴幂级数收敛域为x∈[-1,1)。
设y=x^(1/2)，则x=y^2，(x^n)/(2n-1)=[y^(2n)]/((2n-1)=y[y^(2n-1)]/(2n-1)。
再设S=∑[y^(2n-1)]/(2n-1)(n=1,2,……），两边对y求导，在其收敛域内，有S'=∑[y^(2n-2)]=1/(1-y)，∴S=C-ln(1-y)。又，在其收敛域内，对任意y均成立，令y=0，有C=0，
∴幂级数x^n/(2n-1)的和=-(√x)ln(1-√x)。供参考。