Question

已知：如图，平行四边形ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速远东，速度为3cm/s

Answer 1

1
四边形AQDM为平行四边形，
那么AM//=DQ
根据ΔAPM∽ΔDPQ
所以AP/PD=AM/DQ=1
所以AP=PD=1.5
所以，运动了0.5s
2
DQ=1-t
AP=3t,
PD=3-3t
所以AM/DQ=AP/PD
解得AM=t
所以BM=1+t
所以MN=(1+t)/√2
所以S四边形ANPM=(1/2)AP*MN=3√2t(1+t)/4
,
0<=t<=1
即y=3√2t(1+t)/4
,
0<=t<=1
3
存在这个点。
设NP与AC交于K点。
因为BN=(1+t)/√2
CN=3-BN=3-(1+t)/√2
根据ΔAKP∽ΔNKC
所以AK/KC=AP/NC=√2
带入各个量后解得t=(3√2-1)/4<1，符合题意。
所以，运动t=(3√2-1)/4
s时，满足交点K分AC为2:1

Answer 2

(1)
AQDM如果是平行四边形，QD=AMQD∥AM
P为AD中点，
AP=1.5

∵P从点A出发，沿AD方向匀速向东，速度为3cm/s，∴t=0.5
(2)
AM=CQ=t,
AP=3t
MN=√2/2*(t+1)

y=3t*√2/2*(t+1)/2=3√2/4*t(t+1)
(3)
3t/[3-√2/2*(t+1)]=1/√2
或
3t/[3-√2/2*(t+1)]=√2

3√2t=3-√2/2*(t+1)
或
3t=√2[3-√2/2*(t+1)]

(3√2+√2/2)t=3-√2/2
或
4t=3√2-1

t=(6-√2)/(7√2)=(3√2-1)/7
或
t=(3√2-1)/4

Answer 3

（1）
如果要使四边形AQDM为平行四边形，则AD,QM必定是其的对角线，P必定是其交点，根据平行四边形对角线性质，即相互平分，则P必为AD和QM的中点
因为AD＝3，则AP=1.5,而P的速度为3cm/s，
所以t=0.5时满足要求。
（2）
我们先想象一下，当P、Q移动时，四边形ANPM的变化情况，它由P、Q在初始点面积为零开始，变成同以AP为底的上下两个三角形组成，共底的AP长度以及总高MN随着t的增长而变长。
那我们只要找到AP、MN分别与t的关系即可了。设MN与AD交于点O.
AP=3t，
MN＝BM/√2(因为角ABC＝45,等腰直角三角形斜边是直角边的根号2倍)
BM=AB+AM
AB=1
AM=CQ=t
（这里需要证明一下，ACQM始终是平行四边形）
证明：因为BM平行CD，所以必有三角形APM和DPQ相似（对顶，内错）
所以有AP：AM=DP：DQ（对应边成比例）
其中：AP=3t；DP=3-t；DQ=1-t，代入上式后，求得AM=t
而CQ=t，所以AM=CQ，所以ACQM是平行四边形
我们继续
所以MN=(1+t)/√2
四边形ANPM面积S＝三角形AMP面积+三角形ANP面积
S=1/2*AP*OM+1/2*AP*ON
S=1/2AP*(OM+ON)
S=1/2*AP*MN
S=1/2*3t*(1+t)/√2
（3）
存在这一点。设AC和PN交点为H,
因为AD平行BC
所以三角形HAP和三角形HCN相似
所以有HA：HC=AP：NC
即当AP：NC＝√2：1就能满足
我们已知AP=3t
NC=3-BN=3-MN=3-(1+t)/√2
3-(1+t)/√2＝√2：1
解得t=(3√2-1)/4