Question

lim(xcosx-sinx)/(x^3)不用洛必达法则怎么做

Answer 1

我来试试吧...
lz是应该是大学生吧...总之，要从根本上来解答的话,必须用到
泰勒公式
和
无穷小的阶数
这两个概念
泰勒展开：cosx=1-1/2!x^2+1/4!x^4-....
sinx=x-1/3!x^3+1/5!x^5-...
于是xcosx-sinx=-1/3x^3+1/30x^5-...
lim(x→0)(xcosx-sinx)/x^3=lim(x→0)[-1/3x^3+1/30x^5-...]/x^3
=lim(x→0)[-1/3x^3]/x^3=-1/3
其中运用了一个等价无穷小...
设a(x),b(x)均为x0处的无穷小，（就是说x→x0，a(x),b(x)→0）
b(x)≠0，
若lim(x→x0)
a(x)/b(x)=k≠0
则称a(x)与b(x)为同阶无穷小
当k=1时，称a(x),b(x)等价...
若k=0则称a(x)是b(x)的高阶无穷小（理解为更迅速→0，比如x²是x的高阶无穷小）
记为a(x)=
o(b(x)),则有lim(x→x0)
o(b(x))/b(x)=0
定理：
一般地，x→0时，一个无穷小a(x)与它的高阶无穷小(记为)
o(a(x))
之和与a(x)等价
证明：lim(x→x0)
[a(x)+o(a(x))]/a(x)=lim(x→x0)
a(x)/a(x)+lim(x→x0)
o(a(x))/a(x)=1
而在求极限中，等价的无穷小是可以替换的
所以
-1/3x^3+1/30x^5-...可以用
-1/3x^3
来替换
（注意，不是等价无穷小就不能替换）
知识补充好了
我们来看看lz的问题......
分子分母同除x得到lim[x->0](cosx-sinx/x)/x^2,又因为lim[x->0]sinx/x=1,所以得到
lim[x->0]cosx-1/x^2
错误产生了...lz直接用
1
替换了
sinx/x，意思就是
1和sinx/x是等价无穷小...是这样吗？
错了...他们都不是无穷小..不能转换
即便要转换，也必须这样cosx-sinx/x~
cosx-1
-(sinx/x-1)~
cosx-1-0...
也就是说
sinx/x-1是0的等价无穷小...这显然是错误的
退一步说...
cosx-sinx/x和cosx-1
也不是等价无穷小...
cosx-sinx/x
~-1/3x^2
cosx-1
~-1/2x^2
所以cosx-sinx/x不能被cosx-1替换...
产生这个的原因是什么？
原因是
cosx-1
和
sinx/x-1
是等价无穷小...他们都是x²的同阶无穷小..
cosx-1-(sinx/x-1)是多少阶是不能直接确定的，只知道它的阶数不小于2
这里运用cosx-1=-1/2x^2
正好和x^2是同阶无穷小也完全是运气...
所以说..根本原因就是
非等价无穷小的替换导致了
极限的错误

Answer 2

可以考虑泰勒公式，答案如图所示

Answer 3

x趋于sinx，=limx（cosx-1）/x^3=lim-2sin²（x/2）/x²=-1/2
额似乎不能这样算，洛必达答案是-1/3