证明:函数分f(x)=√x²+1 -x 在其定义域为减函数

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归湘云堂璇
游戏玩家

2020-01-26 · 游戏我都懂点儿,问我就对了
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定义域易知x>0
设x1>x2>0
f(x1)-f(x2)=1//(x1+√x1)-1/(x2+√x2)
=(x2+√x2-x1-√x1)/(x1+√x1)(x2+√x2)
分母(x1+√x1)(x2+√x2)>0恒成立
分子因为x1>x2>0
则x2-x1<0,√x2-√x1<0
,所以分子小于0
则f(x1)-f(x2)<0
f(x1)<f(x2)
因为x1>x2,所以函数在定义域为减函数
纵宛筠成韦
2019-07-05 · TA获得超过3万个赞
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证明过程中没有确定X1+X2≥0
f(x1)-f(x2)=
[√(x1²+1)-x1]-[√(x2²+1)-x2]
代入函数式
=[√(x1²+1)-
√(x2²+1)]+[
x2-x1]

根式
分出来
=[(x1²+1)-
(x2²+1)]/
[√(x1²+1)+√(x2²+1)]
+[
x2-x1]
分子有理化
=
(x1²-
x2²)
/
[√(x1²+1)+√(x2²+1)]
+[
x2-x1]
=(x1-
x2){
(x1+
x2)
/
[√(x1²+1)+√(x2²+1)]-1}
分子
分解因式
,提取公因式
=(x1-
x2)
(x1+
x2-√(x1²+1)-
√(x2²+1))
/
[√(x1²+1)+√(x2²+1)]
上面大括号内
通分
后面说明x1-
x2<0,x1+
x2-√(x1²+1)-
√(x2²+1)<0.,加之[√(x1²+1)+√(x2²+1)]>0
得到f(x1)-f(x2)>0
完成证明。
理解了吧!
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