Question

证明:函数分f(x)=√x²+1 -x 在其定义域为减函数

Answer 1

定义域易知x＞0
设x1＞x2＞0
f(x1)-f(x2)=1//(x1+√x1)-1/(x2+√x2）
=(x2+√x2-x1-√x1)/(x1+√x1)(x2+√x2)
分母(x1+√x1)(x2+√x2)＞0恒成立
分子因为x1＞x2＞0
则x2-x1＜0，√x2-√x1＜0
，所以分子小于0
则f(x1)-f(x2)＜0
f(x1)＜f(x2)
因为x1＞x2，所以函数在定义域为减函数

Answer 2

证明过程中没有确定X1+X2≥0
f(x1)-f(x2)=
[√(x1²+1)-x1]-[√(x2²+1)-x2]
代入函数式
=[√(x1²+1)-
√(x2²+1)]+[
x2-x1]
将
根式
分出来
=[(x1²+1)-
(x2²+1)]/
[√(x1²+1)+√(x2²+1)]
+[
x2-x1]
分子有理化
=
(x1²-
x2²)
/
[√(x1²+1)+√(x2²+1)]
+[
x2-x1]
=(x1-
x2){
(x1+
x2)
/
[√(x1²+1)+√(x2²+1)]-1}
分子
分解因式
，提取公因式
=(x1-
x2)
(x1+
x2-√(x1²+1)-
√(x2²+1))
/
[√(x1²+1)+√(x2²+1)]
上面大括号内
通分
后面说明x1-
x2<0，x1+
x2-√(x1²+1)-
√(x2²+1)<0.，加之[√(x1²+1)+√(x2²+1)]>0
得到f(x1)-f(x2)>0
完成证明。
理解了吧！