Question

已知抛物线y=（m-1）x2-2mx+m+1（m＞1）．（1）求抛物线与x轴的交...

已知抛物线y=（m-1）x2-2mx+m+1（m＞1）． （1）求抛物线与x轴的交点坐标； （2）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为2，求m的值； （3）若一次函数y=kx-k的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式．

Answer 1

解：（1）令y=0，则（m-1）x2-2mx+m+1=0．
∵△=（-2m）2-4（m-1）（m+1）=4，
解方程，得x=2m±22(m-1)．
∴x1=1，x2=m+1m-1．
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（m+1m-1，0）；
（2）∵m＞1，∴m+1m-1＞1．
由题意可知，m+1m-1-1=2．
解得，m=2．
经检验m=2是方程的解且符合题意．
∴m=2；
（3）∵一次函数y=kx-k的图象与抛物线始终只有一个公共点，
∴方程kx-k=（m-1）x2-2mx+m+1有两个相等的实数根．
整理该方程，得（m-1）x2-（2m+k）x+m+1+k=0，
∴△=（2m+k）2-4（m-1）（m+1+k）=k2+4k+4=（k+2）2=0，
解得k1=k2=-2．
∴一次函数的解析式为y=-2x+2．