Question

已知函数f（x）=xlnx+1（Ⅰ）若x＞0时，函数y=f（x）的图象恒在直线y...

已知函数f（x）=xlnx+1 （Ⅰ）若x＞0时，函数y=f（x）的图象恒在直线y=kx上方，求实数k的取值范围； （Ⅱ）证明：当时n∈N*，ln（n+1）＞12+13+14+…+1n+1．

Answer 1

解：（Ⅰ）当x∈（0，+∞）时，函数（1，+∞）的图象恒在直线x∈（1，+∞）上方，
等价于当x∈（0，+∞）时，xlnx+1＞kx恒成立，…（1分）
即k＜
xlnx+1
x
=lnx+
1
x
恒成立，…（2分）
令g(x)=lnx+
1
x
，x∈（0，+∞），则g′(x)=
1
x
-
1
x2
=
x-1
x2
…（3分）
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＞0，故g(x)=lnx+
1
x
在（1，+∞）上递增，
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，故g(x)=lnx+
1
x
在（0，1）上递减，…（4分）
∴g（1）为g(x)=lnx+
1
x
在区间（0，+∞）上的极小值，仅有一个极值点故为最小值，
∴x∈（0，+∞）时，g（x）≥g（1）=1…（5分）
所以实数g（x）＞g（1）=1的取值范围是（-∞，1）…（6分）
（Ⅱ）证法一（构造函数法）：
由（1）知当x＞0，x≠1时，xlnx+1＞x，即lnx＞1-
1
x
…（8分）
令x=
n+1
n
，则ln
n+1
n
＞1-
n
n+1
，…（10分）
即得ln(n+1)-lnn＞
1
n+1
…（11分）
∴ln2-ln1＞
1
2
，ln3-ln2＞
1
3
，…，ln(n+1)-lnn＞
1
n+1
…（12分）
∴ln（n+1）=（ln（n+1）-lnn）+（lnn-ln（n-1））
+…+（ln2-ln1）+ln1＞
1
n+1
+
1
n
+…+
1
2
…（13分）
∴当n∈N*时，ln（n+1）＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
．…（14分）
（Ⅱ）证法二（数学归纳法）：
①当n=1时，由2ln2=ln4＞1，知ln2＞
1
2
成立； …（7分）
②假设当n=k时命题成立，即
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
k+1
＜ln(k+1)
那么，当n=k+1时，
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
k+1
+
1
k+2
＜ln(k+1)+
1
k+2
…（8分）
下面利用分析法证明：ln(k+1)+
1
k+2
＜ln(k+2)…（9分）
要证上式成立，只需证：
1
k+2
＜ln(k+2)-ln(k+1)
只需证：1-
k+1
k+2
＜ln
k+2
k+1
…（10分）
令x=
k+2
k+1
，只需证：1-
1
x
＜lnx，（x＞1）…（11分）
只需证：x＜xlnx+1，（x＞1）
由（1）知当x＞1时，xlnx+1＞x恒成立．…（12分）
所以，当n=k+1时，
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
k+1
+
1
k+2
＜ln（k+2）也成立，…（13分）
由①②可知，原不等式成立．
∴当n∈N*时，ln（n+1）＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
．…（14分）