Question

已知函数f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b (a,b属于R),若函数f(x)在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围。

Answer 1

据题意f(x)【至少】有一个极值点在区间(-1,1)内，
由于f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=(x-a)[3x+(a+2)],
a≠-1/2时，f(x)有两个不相同的极值点x1=a和x2=-(a+2)/3,
①a=-1/2时，f(x)严格单调增加
②-1<x1<1，即 -1<a<1；
③-1<x2<1，即-1<-(a+2)/3<1，可得-5<a<1，

综合①、②、③，可得a的取值范围是｛-5<a<-1/2｝∪｛-1/2<a<1｝

Answer 2

解：f(x)=x^3+(1-a)x^2-a(a+2)x+b.求导得，f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)=3(x-a)[x+(a+2)/3].===>f'(a)=f'[-(a+2)/3]=0.又a-[-(a+2)/3]=4(a+0.5)/3.(1)当a<-0.5时，===>a<-(a+2)/3.由题设，应有a<-1<-(a+2)/3<1.或-1≤a<-(a+2)/3.===>-5<a<-1,或-1≤a<-1/2.===》-5<a<-1/2.(2)当a>-1/2时，-(a+2)/3<a.由题设，应有-(a+2)/3<-1<a<1.或-1≤-(a+2)/3<a<1.===>a<1.==>-1/2<a<1.(3)a=-1/2时，a=-(a+2)/3=-1/2.显然不合题设，综上知，a的取值范围是(-5,-1/2)∪(-1/2,1).

Answer 3

不单调是什么意思？高中还是大学的题？
用导数求解：f'(x)=3x^2+2(1-a)x-a(a+2)是关于x的二次函数，开口向上。
若不单调则它在区间（-1，1）上，f'(x)有正也有负，f'(x)==0必须有解，
故：4（1-a)^2 + 12a(a+2) > 0
即：(2a+1)^2 > 0
显然只要a不等于 -1/2 即可。