Question

已知函数F(X)=-X^3+ax^2+b(a.b属于R)（1）求函数F(X)的单调递增区间；(2)若对任...

已知函数F(X)=-X^3+ax^2+b(a.b属于R)（1）求函数F(X)的单调递增区间；(2)若对任意a属于[3.4].函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围

过程

Answer 1

(1)f(x)=-x^3+ax^2+b，f'(x)=-3x^2+2ax=-3x(x-2a/3)
1)若a<0，则x<2a/3，时f'(x)<0，f(x)递减；2a/3<x<0，f'(x)>0，f(x)递增；x>0，f'(x)<0，f(x)递减。
f(x)的递增区是(2a/3,0)。
2)若a=0，则f'(x)=-3x^2<=0，则f(x)是减函数，没有单调递增区间。
3)若a>0，则x<0，时f'(x)<0，f(x)递减；0<x<2a/3，f'(x)>0，f(x)递增；x>2a/3，f'(x)<0，f(x)递减。
f(x)的递增区是(0,2a/3)。
(2)由(1)知，f(x)的极小值是f(0)=b，极大值是f(2a/3)=4a^3/27+b。
因为f(x)在R上有三个零点，所以，f(0)=b<0且f(2a/3)=4a^3/27+b>0，-4a^3/27<b<0。
3<=a<=4，则-256/3<=-4a^3/3<=-36。
所以，-36<b<0

追问

（-4，0）。？

追答

(2)由(1)知，f(x)的极小值是f(0)=b，极大值是f(2a/3)=4a^3/27+b。
因为f(x)在R上有三个零点，所以，f(0)=b0，-4a^3/27<b<0。
3<=a<=4，则-256/27<=-4a^3/27<=-4。
所以，-4<b<0