Question

一道竞赛题，在、锐角三角形ABC中，求得一点P，使PA+PB+PC最短并证明

是证明！不是证明费马点，

Answer 1

设锐角△ABC。（1）分别以AB,AC为一边，向△ABC外作正△ABC'和正△ACB'.连结BB',CC'.线段BB'与CC'交于点P.易知，点P即是费尔马点，且BB'=CC'=PA+PB+PC.(这里，你讲明了不用证明）。下面的工作即是证明线段BB'(CC')最短。（2），设点Q是△ABC内的任一点，连结AQ,BQ,CQ.以线段BQ为一边，向外（点C'方向）作正△BQR,连结RC'.易知，∠C'BR+∠RBA=∠C'BA=60°=∠RBQ=∠RBA+∠ABQ,===>∠C'BR=∠ABQ,,又显然有C'B=AB,RB=QB.====>△C'BR≌△ABQ(S.A.S)===>C'R=AQ.====>折线C'RQC=AQ+BQ+CQ.又折线C'RQC>线段C'C.(连结两点的所有线中，直线段最短）。====》AQ+BQ+CQ>AP+BP+CP. 这即证明了点P符合题设，最短。（注：以上仅供你参考。）

Answer 2

PA*BC+PB*AC+PC*AB=constant

所以最小值是最短的一条高