由于垂直距离最小,PA+PB=AB 若PC是AB边上的垂线,如在AB边上,则PA+PB+PC最短.
实际上,这个P点应在角度最大的那个角所对的边上,且与所对的边垂直.
费马（Pierre De Fermat )是法国数学家，1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅。费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”.
引例：有甲乙丙三个村庄，要在中间建一供水站向三地送水，现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小？将此问题用数学模型抽象出来即为：
在△ ABC中确定一点P，使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小。
解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点，则该点 即为所求P点。
证明：如下图所示。连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中，AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD。
∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆
∴∠APB=120° ， ∠APD=∠ABD=60°
同理：∠APC=∠BPC=120°
以P为圆心，PA为半径作圆交PD于F点，连结AF，
以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°，已证∠APD=60°
∴△APF为正三角形。∴不难发现△ABP与△ADF重合。
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另在△ABC中任取一异于P的点G ，同样连结GA、GB、GC、GD，以B为轴心
将△ABG逆时针旋转60°，记G点旋转到M点.。
则△ABG与△BDM重合，且M或 在 线 段DG上 或 在DG外。
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC。
从而CD为最短的线段。
以上是简单的费马点问题，将此问题外推到四点，可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点
"实际上,这个P点应在角度最大的那个角所对的边上,且与所对的边垂直"这个怎么证。。。
如图，设三角形ABC三边分别为a,b,c
作BD垂直于AC
任意点P（p,0)则有
T＝PA+PB+PC＝b+((p-ccosA)^2+(0-csinA)^2)^(1/2)
要得到T的最小值，因为b,cosA,sinA都为给定量，只有（p-ccosA)^2小最时T才最小
即（p-ccosA)^2＝0为最小
p=ccosA
从图中不难看出ccosA=AD
也就是说P点在垂足D点时T有最小值
T＝b+BD＝b+csinA=b+c(1-((c^2+b^2-a^2)/2bc)^2)^(1/2)
0<sinA<1
b<b+csinA<b+c
所以点p在最短边的垂足上时T值最小
