Question

已知二次函数f（x）的图象过点A（-1，0），B（3，0），C（1，-8）， （...

已知二次函数f（x）的图象过点A（-1，0），B（3，0），C（1，-8）， （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）在[0，3]上的最值； （3）求不等式f（x）≥0的解集．

Answer 1

分析：（1）待定系数法：设出f（x）的两根式，把点C坐标代入即可求出；
（2）判断f（x）在[0，3]上的单调性，据单调性即可求得最值；
（3）按二次不等式的求解方法易求：变形，求根，据图写解集；
解答：解：（1）由题意设f（x）=a（x+1）（x-3）（a≠0），
因为f（x）的图象过点C（1，-8），所以-8=a（1+1）（1-3），
解得a=2．
所以f（x）=2（x+1）（x-3）．
（2）f（x）图象的对称轴为x=1，f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增，
所以f（x）在[0，3]上的最小值为f（1）=-8，
又f（0）=-6，f（3）=0，所以最大值为f（3）=0．
所以f（x）在[0，3]上的最小值为-8，最大值为0．
（3）f（x）≥0即2（x+1）（x-3）≥0，
解得x≤-1或x≥3．
所以不等式的解集为{x|x≤-1或x≥3}．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值、二次函数的性质及二次函数解析式的求解问题，属基础题，深刻理解“三个二次”间的关系是解决该类题目的关键．