Question

f(x)=ax^2+bx+c,若函数f(x)=最小值为0，且a<b,求(a+2b+4c)/(b-a)的最小值

Answer 1

若a<0则f（x）无最小值；若a＝0则f(x)=bx+c，由于b>a,所以b>0，所以此时f(x)也无最小值；所以a>0。
f(x)＝ax^2+bx+c＝a(x-b/2a）^2+c-b^2/（4a）
因为f(x)最小值为0，所以c-b^2/（4a）＝0，c＝b^2/（4a）
(a+2b+4c)/(b-a)＝（a+2b+b^2/a）/(b-a)＝（a+b）^2/[(b-a)a]=(1+b/a)^2/(b/a-1)。
令b/a-1＝p，则p>0，(a+2b+4c)/(b-a)＝（1+p）^2/p＝p+4/p+4，该式大于等于2倍根号下（p*4/p）+4＝4+4＝8。
所以，所求的最小值为8。