Question

关于极限大一高数的几个问题

1.“对任意给定的&属于（0,1），总存在正整数N，当n>=N时，恒有|Xn-a|<2&”是数列{Xn}收敛于a的（）条件 答案是充要条件 求解释！为什么是2&不是&呢？给定&的范围死什么意思？ 2.用定义证明lim1/(n^2 -1)=0 n趋近于无穷 谢谢各位了！！讲... 1.“对任意给定的&属于（0,1），总存在正整数N，当n>=N时，恒有|Xn-a|<2&”是数列{Xn}收敛于a的（）条件 答案是充要条件 求解释！为什么是2&不是&呢？给定&的范围死什么意思？ 2.用定义证明lim1/(n^2 -1)=0 n趋近于无穷 谢谢各位了！！讲的好可以追加财富！！！

Answer 1

1.
（1）首先“|Xn-a|<2&”与“|Xn-a|<&”表述的效果是一样的。你这样来看，对任意给定的&，如果当n>=N时，有|Xn-a|<2&，而按照极限的定义，要满足|Xn-a|<&才行；你把之前任意给定的&换成任意给定的&/2（就是把&/2看成一个整体），那么这个&/2也存在对应的正整数N'，当n>=N'时，恒有|Xn-a|<2*(&/2)=&，它的意思就是数列{Xn}收敛于a，所以是充要条件。其实只要是个常数乘以&都是一样的。
（2）至于&属于（0,1），按照极限定义，这个&只要大于零就行。那么如果你任取的&本来属于（0,1），自然没问题了；如果你任取的&大于等于1，那么最后的式子|Xn-a|<&<&'（&'是属于任取的0到1的那个）。所以对&限定缩小后的范围，对极限的定义是没有影响的。
（第1题我想说的详细点，可能有点啰嗦。）
2.
我只说思路，具体你完全可以自己写出来。
就是要让1/(n^2
-1)<&，也就是(n^2
-1)>1/&，算出那个n的范围，往大的方向取个整数，就是N。这个N不需要算得很精确，保证不等式成立就行。