Question

已知函数f(x)=(x²+ax+a)e的-x次方(a≤2,x∈R)

是否存在实数a，使f(x)的极大值喂3？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

求函数
极值点
，先求
驻点
，即令f'(x)=0,
这里f'(x)=(2x+a-x^2-ax-a)*e^(-x)=[-x^2+(2-a)x]*e^(-x)=0
所以x=0,或x=2-a
极小值
点f(0)=a,
极大值点f(2-a)=(4-a)*e^(a-2)
这时令右边为关于a的函数，g(a)=(4-a)*e^(a-2)
g'(a)=(3-a)*e^(a-2),令它=0，得a=3时，当a<3时g'(a)>0,
单增
题目中a<=2,代入a=2,g(a)=2(最大值)
也就是说f(x)极大值为2（a<=2时）

Answer 2

f'(x)=(2x+a)e^-x-(x^2+ax+a)e^-x
=[-x²+(-a+2)x](e^-x)
=-x(x+a-2)e^-x
设f'(x)=0
因e^-x>0
所以-x(x+a-2)=0
解得x=0或x=2-a
已知a≤2
2-a≥0
1.
x<0
时
f'(x)<0
函数单减
2.
0<x<2-a时
f'(x)>0
单增
3.
x>2-a时
f'(x)<0
单减
所以f(x)max=f(2-a)
=[(2-a)²+a(2-a)+a]e^(a-2)
=(4-a)*e^(a-2)
设f(x)max=3
所以设g(a)=(4-a)*e^(a-2)-3
g'(a)=-e^(a-2)+(4-a)*e^(a-2)
=(3-a)*e^(a-2)>0
单增
则g(a)最大=g(2)=(4-2)*e^0-3=-1<0
所以g(a)<0即f(x)的极大值<3
故不存在这样的a值