Question

初三相似三角形题目

题目第二问不会证，本题又本校自己出的一张月考试卷上的，这道题第二问全校没有一个学生会做，求高人指点..（题目在附图上）

Answer 1

其实用解析几何的方法来做，很简单。

如图，建立直角坐标系，简便起见，设直角等腰三角形的斜边为2，直角边为√2

A(0,0)，B(-1,-1)，C(1,-1)

设F点横坐标为a，-1<=a<=1

DF=AD，EF=AE，DE垂直平分AF

因AF的斜率为-1/a，所以DE的斜率为a（垂直线斜率之积为-1）

M点坐标：(a/2,-1/2)

所以，DE方程：y=a(x-a/2)-1/2

又AB方程：y=x；AC方程：y=-x

所以可得D、E的坐标：

D[(a^2+1)/(2a-2),(a^2+1)/(2a-2)]

E[(a^2+1)/(2a+2),-(a^2+1)/(2a+2)]

所以：

DF=AD=√2*(a^2+1)/(2-2a)

EF=AE=√2*(a^2+1)/(2a+2)

又：BF=a+1，CF=1-a

代入即可：

BF:DF=√2*(1-a^2)/(1+a^2)

CF:EF=√2*(1-a^2)/(1+a^2)

所以，BF:DF=CF:EF 

纯几何的方法也不难：如图2

过F点作AF的垂线，交AB于G，过C作CH//AB，交GF延长线于H，连AH

易证：三角形DFE相似于三角形DMA相似于三角形GFA

所以，DF:EF=FG:AF

由于A、C、H、F共圆（这是因为：角ACH=角AFH=90度）

所以角AHF=角ACF=45度

所以三角形AFH是等腰直角三角形

AF=FH

即，DF:EF=FG:FH

又，易证三角形BGF相似于三角形CHF

所以，BF:CF=FG:FH=DF:EF

即得，BF:DF=CF:EF

Answer 2

解：
在直角三角形ABC里：AB²=BC²+AC²
因为AB=5，AC=4
所以BC=3
因为AP=x
所以BP=5-x
因为EP⊥AB,∠C=90
所以∠BPE=∠C=90
因为∠A=∠A
所以三角形BPE∽三角形BCA
所以BP：BC=BE：BA，BP：BC=PE：AC
即：（5-x）：3=BE：5，（5-x）：3=PE：4
所以BE=（25-5x）/3，PE=（20-4x）/3
所以CE=BC-BE=（3x-16）/3
四边形ACEP的周长=
AP+PE+CE+AC
=x+[（20-4x）/3]+[（3x-16）/3]+4
=（48+2x）/3
0＜AP＜AB
即：0＜x＜5

Answer 3

△DMC的面积为正方形面积的1/5
设正方形边长为2
吧。有个数好算点
△DEC中
点E是BC的中点
BE=CE=1
DE²=DC²+EC²
DE=√5
S△DEC=0.5
XCEXDC=0.5DEXCM

CM=2/√5
△DMC中
DM²+CM²=DC²
DM=4
/
√5
S△DMC2
/
√5X4
/
√5X0.5=0.8

Answer 4

AC=BD
说明ABCD是一个平行四边形
延长BD
过C
点做垂直BD
的延长线于F
点，BF=2BD=2a，CF=AD
所以BC的平方
等于BF的平方
加上CF的平方
算一下就行了

Answer 5

设EN为7x,EF2x,EN/BC=7x/60=40-2X/40=AP/AD解得x=6
所以面积为7*6*2*6=504