Question

ax=0有非零解的充要条件是什么？

Answer 1

齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是：r(A)<n，即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。

由此可得推论：齐次线性方程组AX=0仅有零解的充要条件是r(A)=n。

齐次线性方程组解的存在性：

1、若n个方程n个未知量构成的齐次线性方程组AX=0的系数行列式|A|≠0，则方程组有唯一零解。

2、若m个方程n个未知量构成的齐次线性方程组，若r(A)= n，即A的列向量组线性无关，则方程组有唯一零解；若r(A)= s<n，即A的列向量组线性相关，则方程组有有非零解，且有n-s个线性无关解。

区别：

零解是一定所有齐次方成组的解，但不一定是唯一解。当齐次方成组系数矩阵的秩小于未知数的个数时，该方程组一定有非零解，否则只有零解。

齐次线性方程组只有零解：说明只有唯一解且唯一解为零（因为零解必为其次线性方程组的解），即A的秩r（A）=未知数的个数n <=>A为列满秩矩阵 齐次线性方程组有非零解:即有无穷多解<=>A的秩。