Question

计算二重积分∫∫dσ,其中D为由直线y=2x,x=2y以及x+y=3所围成的区域？

Answer 1

联立解 y = 2x，x+y = 3 得交点 A(1, 2) ; 联立解 x = 2y，x+y = 3 得交点 B(2, 1).
∫∫dσ = ∫<下0, 上1>dx∫<下x/2, 上2x>dy+∫<下1, 上2>dx∫<下x/2, 上 3-x>dy
= ∫<下0, 上1>(3x/2)dx + ∫<下1, 上2>(3-3x/2)dx
= [3x^2/4]<下0, 上1> + [3x-3x^2/4]<下1, 上2>
= 3/4 + 6-3-3+3/4 = 3/2
初等数学解法 ： 所求二重积分是三角形 OBA的 面积，
S = (1/2) ·
|0 0 1|
|2 1 1|
|1 2 1|
= 3/2