Question

一道微积分证明题（罗尔中值定理相关）

如图，积分上限如果2不行那估计就应该是1

我觉得应该是构造新函数然后用罗尔中值定理来证明
但是f(1)的值怎么都算不出来

麻烦各位高手帮帮忙
我的思路就和3L的一样
4L的看起来感觉更清晰一些
可不可以再具体的讲一下后面的过程

Answer 1

令F(x)=xf(x)
则题目可以改成
函数F在[0，1]上可导,F(1)=2∫F(x)dx (从0到0.5)
证明 存在ξ，F'(ξ)=0

证明：由积分中值定理，存在c属于(0,1),F(c)=F(1)
再在(c,1)上用罗尔定理，就出来了

积分中值定理：
存在c属于(0,0.5),使0.5F(c)=∫F(x)dx (从0到0.5)
那么F(c)=F(1)

罗尔定理：∵F(c)=F(1)
∴存在ξ属于(c,1),使F'(ξ)=0

这道题共有三个过程：将题目改编，积分中值定理，罗尔定理。我哪个步骤写得不大清晰？

Answer 2

令g(x)=xf(x),令G（x)=∫[0,x]g(t)dt (0到x积分)
现在有g(0)=0,只要g(1)=0，那此题可证

还没想到怎么证g(1)=0，g(x)与G（x）怎么结合才好

Answer 3

看不清

Answer 4

这是个定理，书上不是有分析么