Question

已知函数f(x)＝lnx+ax(a＞0)

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）求出原函数的导函数，在函数的定义域内分x∈（0，a）和（a，+∞）讨论导函数的符号，从而得到原函数的单调区间；
（Ⅱ）求出函数在x=x 0处的导函数，根据题意以y=f（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x 0，y 0）为切点的切线的斜率恒成立，可得导函数对x 0∈（0，3]恒成立，分离参数后求函数的最大值．

（Ⅰ）由f(x)＝lnx+
a
x(a＞0)，得：f′(x)＝
1
x−
a
x2＝
x−a
x2
∵函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，且a＞0．
∴当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，
当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
∴函数f（x）的减区间为（0，a），增区间为（a，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′(x0)＝
x0−a
x02，
以y=f（x）（x∈（0，3]）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤
1
2恒成立，
即
x0−a
x02≤
1
2对x0∈（0，3]恒成立，即2x0−2a≤x02对x0∈（0，3]恒成立，
也就是a≥−
x02
2+x0＝−
1
2(x0−1)2+
1
2对x0∈（0，3]恒成立，
令g（x）=−
1
2(x0−1)2+
1
2 （x0∈（0，3]），
当x=1时，g(x)max＝g(1)＝
1
2，
∴a≥
1
2．
∴所求实数a的最小值为[1/2]．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查了利用函数的导函数研究函数的单调性，考查了导数的几何意义，函数在图象上某点处的切线的斜率就是在该点处的导数值，考查了利用分离变量法求参数的取值范围，此题是中档题．