Question

零点定理为什么一定要在闭区间上连续，如果再开区间上

Answer 1

零点定理：

若f(x)在du[a，b]上连续，且f(a)*f(b)<0，

则在zhi(a，b)上至少存在一个实数daoc使f(c)=0。

如果结论是在闭区间上，那与结论是在开区间上只是多了两种情况：f(a)=0或者f(b)=0，但是因为条件是f(a)*f(b)<0，这个条件已经隐含了f(a)和f(b)都不等于0，所以结论虽然可以用闭区间叙述，但是闭区间的端点取不到，所以就用紧的结论--开区间叙述了。

这就好像，能确定x>5,就不要写x>4或者x>=5，虽然后两种写法也对，但是包含了不可能的情况，因此不准确。

扩展资料：

E={x|f(x)≤0,x∈[a,b]}.

由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，

存在ξ=supE∈[a,b].

下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).）.事实上，

(i)若f(ξ)<0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知

存在δ>0,对x1∈(ξ,ξ+δ):f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE,

这与supE为E的上界矛盾；

参考资料来源：百度百科-零点定理