Question

(x^n)/(1-x) 求n阶导数

Answer 1

1) y=(1/2)[1/(x 1)-1/(x-1)]
y^(n)=(1/2)[(-1)^n n!(x 1)^(-n-1)
-(-1)^n n!(x-1)^(-n-1)]
2) y=2(1-x)^(-1/3)-（1-x)^(2/3)
y^(n)=
(-1)^n 2 (-1/3)(-1/3-1)(-1/3-2)(-1/3-n 1)
(1-x)^(-1/3-n)
-(-1)^n (2/3)(2/3-1)(2/3-2)(2/3-n 1)
(1-x)^(2/3-n)
3) 分n为奇数和偶数讨论
a) 若n为偶数,令n=2m
y=x^(2m)/(x^2-1)=[x^(2m)-1 1]/(x^2-1)
=[x^(2m-2) x^(2m-4) ...x^2 1] 1/(x^2-1）
前面多项式次数低于n,故求导为零；后面部分与（1）类似.
b)若n为奇数,令n=2m 1
y=[x^(2m 1)-x x]/(x^2-1)
=x(x^2m-1)/(x^2-1) (1/2)[1/(x-1) 1/(x 1)]
前面部分与(a)类似,次数低于n次多项式,所以求导为零；
后一部分求导方法与（1）类似.