Question

如图,在△ABC中,AB=AC,角A=36°,线段AB的垂直平分线交AB于D

如图,在△ABC中,AB=AC,角A=36°,线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE。求证：AE^2=AC×EC。

Answer 1

解：设BD=a
因为∠A=36，AB=AC
所以∠ABC=∠C=72
因为BD平分∠ABC
所以∠ABD=∠DBC=36
所以∠BDC=72
BD=BC
因为∠A=∠ABD=36
所以AD=BD
因为∠A=∠CBD，∠C=∠C
所以△ABC∽△BDC
AB/BD=BC/CD
AB=1,BD=a，BC=BD=a，CD=AC-AD=AC-BD=1-a
1/a=a/(1-a)
a²=1-a
a²+a-1=0
a=(-1±√5)/2
a=(-1-√5)/2舍去
所以BD=(√5-1)/2

Answer 2

易证△CBE∽△CAB（AA）
CE/BE=CB/AB
AB=AC
AE=BE（△ABE）
BC=CE（△CBE）
所以AE^2=AC×EC。