Question

请问收敛数列一定有极限吗？

Answer 1

证明如下：
设lim xn = a,lim xn = b

当n > N1,|xn - a| < E

当n > N2,|xn - b| < E

取N = max {N1,N2},

则当n > N时有

|a-b|=|(xn - b)-(xn - a)|

• 收敛数列定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|。

• 收敛数列的性质：

1. 如果数列收敛，那么它的极限唯一；

2. 如果数列收敛，那么数列一定有界；

3. 保号性；

4. 与子数列的关系一致.发散的数列有可能有收敛的子数列。