Question

如图，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE垂直AC，垂足为E，可得结论DE是⊙O的切线。

如图，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE垂直AC，垂足为E，可得结论DE是⊙O的切线。
1. 若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE垂直AC的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由。
2. 如果AB=AC=5厘米,sinA=3/5,那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？

Answer 1

1.成立
证明：
连接OD
∵OB=OD
∴∠B=∠ODB
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠ODB=∠C
∴OD‖AC
∵DE⊥AC
∴DE⊥OD
∴DE是⊙O的切线
2.
当⊙O 和AC相切时，设切点为F
则OF⊥AC，OF=BO
设BO=x，则AO=5-x
∵sinA=3/5
∴OF=3/5(5-x)
∴3/5(5-x)=x
15-3x=5x
8x=15
x=15/8
当OB=15/8时，⊙O与AC相切

Answer 2

1、连结AD，OD，AB是圆直径，〈ADB=90°（半圆上周角为直角），
AD是高也是〈BAC的角平分线，〈BAD=〈CAD，
OA=OD，〈OAD=〈ADO，
故〈ODA=〈CAD，
OD‖AC，
DE⊥AC，
〈ODE=90°，
故DE与圆O相切。
当O点下移时，上述结论不成立，如图所示，〈GDF=90度，〈ODE≠90°，DE就不是圆O切线。
2、设AB与圆相交于F，设AF=x,OE=5/2,OF=5/2,
OE/OA=sinA=3/5,
x/(x+5/2)=3/5,x=5/3,
O点位置为：5/3+5/2=25/6，
即距A点25/6，距B点5-25/6=5/6。