Question

离散数学问题，请大家帮忙！

小王在4周寒假中，每天至少喝一袋牛奶，整个假期至多喝40袋，请证明：一定有连续的几天，小王在这几天中恰好一共喝了15袋牛奶。

Answer 1

解 4周寒假共4*7=28天，设寒假开始的第i(1<=i<j<=28)天喝ai袋牛奶，由每天至少喝一袋牛奶，故ai>=1(1<=i<j<=28)，再由整个假期至多喝40袋，则a1+a2+…+a28<=40，设Si=a1+a2+…+ai，S1<S2<…<S28，考虑如下序列
S1，S2，…，S28，S1+15，S2+15，…，S28+15，
由S28+15<=40+15=55，故序列中的项均在1与55之间，该序列共有28*2=56项，由鸽笼原理该序列必有两项相同，又S1，S2，…，S28互不相同，S1+15，S2+15，…，S28+15也互不相同，于是必存在1<=i<j<=28，有
Sj=Si+15
即15=Sj-Si=a(i+1)+a(i+2)+…+aj
这说明从第i+1天起至第j连续j-i天一共喝了15袋牛奶.