Question

函数f(x)在[a,b]上有界，是f(x)在[a,b]上可积的什么条件？

充分？必要？条件

Answer 1

连续是可积的充分非必要条件。

因为在区间上连续就一定有原函数，根据n-l公式得定积分存在。

反之，函数可积不能推出连续,只要函数在[a,b]上单调，或在[a,b]上有界且间断点个数有限，就可以积分。

f(x)在[a,b]上有界，是f(x)在[a,b]上可积的条件。

例如这个函数

f（x）=1（x是有理数）；0（x是无理数）

很明显，这个函数是个有界函数，函数值只有1和0两个值。

而这个函数在任何区间内都有无数个间断点、所以在任何区间内都不可积。

所以有界是可积的不充分条件。

扩展资料：

函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

参考资料来源：百度百科-函数

Answer 2

非充分也非必要
先证明非充分
比如函数f(x) =1 当x为[a,b]上的有理数
=-1 当x为[a,b]上的无理数
可知无论分成多少个小区间，该区间最大与最小值之差必定是2，最小达布和必定不接近无穷小
事实上，可积分的充分条件之一为：函数在闭区间有界，且最多只有有限个间断点。

Answer 3

连续是可积的充分非必要条件,不要信楼上那几个.
因为在区间上连续就一定有原函数,根据n-l公式得定积分存在.
反之,函数可积不能推出连续,只要函数在[a,b]上单调,或在[a,b]上有界且间断点个数有限,就可以积分.

Answer 4

必要而不充分。
想想连续，不连续的情况就能明白为什么不能充分了
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694502713
"f(x)=1/x,此函数在[-1，1]可积吧"
貌似不能把，lnx|10=。。。。
不对啊
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zcwcjj - 六级
你的证明貌似。。。。
不对吧，必要性貌似没有证明出来不对啊。。。。。

Answer 5

我觉得这么不单纯的看吧，如果硬要说的话，我觉得既不充分也不必要，因为前者如果不连续，无法推出后者，如果后者可积，那么前者也不一定有界呀！比如f(x)=1/x,此函数在[-1，1]可积吧！可它有界吗？所以我觉得是既不充分也不必要。