Question

设函数f(x)在[0，2a]上连续，且f(0)=f(2a)。证明在区间[0，a]上存在ξ，使 f(ξ)=f(ξ+a)

Answer 1

【答案】：作辅助函数ψ(x)=f(x+a)-f(x)。由于f(x)在[0，2a]上连续，因此f(x+a)在[-a，a]上连续，于是ψ(x)在[0，a]上连续。
ψ(0)=f(a)-f(0)，
ψ(a)=f(2a)-f(a)=f(0)-f(a)=-ψ(0)。
若f(0)=f(a)，则可取ξ=0∈[0,a]，使f(0)=f(a)。
若f(0)≠f(a)，则ψ(0)与ψ(a)异号，由介值定理，必定存在ψ∈(0，a)，使ψ(ξ)=0，即
f(ξ+a)=f(ξ)。