Question

设函数f(x)在区间[0，2a]上连续，且f(0)等于f(2a)，证明：在[0，a]上至少存在一点

设函数f(x)在区间[0，2a]上连续，且f(0)等于f(2a)，证明：在[0，a]上至少存在一点γ，使f(γ)等于f(γ加a)。

Answer 1

考察函数 F(x)=f(x)-f(x+a) （x∈[0，a]），
根据已知，F(x) 在 [0，a] 上连续，
且 F(0)=f(0)-f(a) ，F(a)=f(a)-f(2a)=f(a)-f(0) ，
由于 F(0)*F(a)= -[f(a)-f(0)]^2<=0 ，
所以根据介值定理，存在 γ∈ [0，a] 使 F(γ)=0 ，
即 f(γ)=f(γ+a) 。