Question

有间断点的函数可积么？

Answer 1

你这里的
“可积”
和
“有原函数”
是两个概念，并不矛盾。
　　这里的
“可积”
指的是
“Riemann可积”，即可求定积分，你提到的定理
2
给出了一个可积函数类。而
“f(x)
有原函数”
指的是
“存在函数
F(x)，使
F‘(x)
=
f(x)”。可求定积分的函数未必有原函数，例如
Riemann
函数
　　　　R(x)
=
1/q，x
=
p/q，p
与
q
是互质的整数，
　　　　　　=
0，
x
为无理数，
在
[0,
1]
是可积的，但没有原函数。
　　你的
“有第一类间断点的函数一定没有原函数”
我没有找到反例，但我有一个有第二类间断点的函数有原函数的例子：
　　　　F(x)
=
(x^2)sin(1/x)，x≠0，
　　　　　　=
0，
x=0，
其导函数
　　　　F’(x)
=
2xsin(1/x)
-
cos(1/x)，x≠0，
　　　　　　
=
0，
x=0，
在
x=0
有第二类间断点。