Question

怎么证明在闭区间上有两个间断点的有界函数可积？

Answer 1

我们可以使用黎曼积分的定义来证明在闭区间上有两个间断点的有界函数可积。
首先，由于函数有两个间断点，所以存在两个点 $x_1$ 和 $x_2$，满足 $a \leq x_1 < x_2 \leq b$，并且在这两个点上函数分别发生第一类或第二类间断。因为函数是有界的，所以存在一个常数 $M$，使得 $|f(x)| \leq M$ 对于所有 $x \in [a, b]$ 成立。
接下来，我们可以定义两个分割 $P_1$ 和 $P_2$，其中 $P_1 = {a, x_1, x_2, b}$，$P_2 = {a, x_2, x_1, b}$。显然，$P_1$ 和 $P_2$ 都是 $[a, b]$ 的合法分割。
然后，我们可以计算出 $P_1$ 和 $P_2$ 对应的黎曼和 $S(f, P_1)$ 和 $S(f, P_2)$：
$S(f, P_1) = (x_1 - a)\cdot M + (x_2 - x_1)\cdot M_1 + (b - x_2)\cdot M_2$
$S(f, P_2) = (x_2 - a)\cdot M + (x_1 - x_2)\cdot M_2 + (b - x_1)\cdot M_1$
其中 $M_1$ 和 $M_2$ 分别是函数在 $[a, x_1]$ 和 $[x_2, b]$ 上的上确界和下确界。因为函数在 $[a, x_1]$ 和 $[x_2, b]$ 上是有界的，所以 $M_1$ 和 $M_2$ 都存在。
由于 $x_1$ 和 $x_2$ 是函数的间断点，所以当分割中包含这些点时，对应的黎曼和会发生跳跃。但是，由于函数是有界的，所以这些跳跃的幅度是有限的，可以用 $M_1$ 和 $M_2$ 来表示。因此，我们可以得到以下结论：
$|S(f, P_1) - S(f, P_2)| = |(x_2 - x_1)\cdot (M_1 - M_2)| \leq (x_2 - x_1)\cdot 2M$
最后，我们可以使用黎曼积分的定义来证明函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上是可积的：
对于任意 $\epsilon > 0$，我们可以选择分割 $P_1$ 和 $P_2$，使得 $(x_2 - x_1)\leq \frac{\epsilon}{2M}$，这样就可以得到：
$|S(f, P_1) - S(f, P_2)| \leq (x_2 - x_1)\cdot 2M \
又因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，所以存在一个常数 $K$，使得对于任意的分割 $P$，都有 $|S(f, P)| \leq K$。那么，我们可以计算出：
$|S(f, P_1) - S(f, P_2)| \leq (x_2 - x_1)\cdot 2M \leq \epsilon$
因此，我们证明了当函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有两个间断点且有界时，它是可积的。