Question

高二数学 解析几何抛物线证明题 ！！！求解

http://hi.baidu.com/%C2%F3%D7%D3%BA%AD/album/%C4%AC%C8%CF%CF%E0%B2%E1
题目我拍下来了，默认相册里的图都是。一个图，有六问，请分别详细的写下来。需要过程及严密推理。（如第一题如何避开斜率不存在情况或者分类讨论？）。都是抛物线最基础的性质证明！！！
饿，对了，还有一道小题，IMG011就是，谢谢了

Answer 1

第一问：易知F(p/2,0)，设x=ky+p/2,代入抛物线方程化简得：y^2-2pky-p^2=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),由韦达定理得y1y2=-p^2,y1+y2=2pk,所以x1x2=(y1^2/2p)*(y2^2/2p)=(y1y2)^2/(4p^2)=p^2/4,
x1+x2=(y1^2/2p)+(y2^2/2p)=(y1*y1+y2*y2)/(2p)=[(y1+y2)^2-2y1y2]/(2p)=
(4p^2k^2+2p^2)/(2p)=2pk^2+p
第二问:|AB|=|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=p/2+x1+p/2+x2=x1+x2+p,又tanα=1/k,易得
(sinα)^2=1/(k^2+1),整理得2p/(sin^2)=2pk^2+2p=x1+x2+p.
第三问：AB方程为：x=ky+p/2,变形得y=x/k-p/(2k),所以O到AB距离为：
{p/(2k)}/{根号[1+1/(k^2)]}=p/{2*根号[1+1/(k^2)]}
S=|AB|*(O到AB距离）/2=【2p/(sin^2)】*上式/2，又1/sin=根号[1+k^2],所以化简得S=p^2/[2sinα]
第四问：由第1问可知|AF|=x1+p/2,|BF|=x2+p/2,所以1/m+1/n=(m+n)/mn=
(x1+x2+p)/{(x1+p/2)(x2+p/2)}=(2pk^2+2p)/{x1x2+p(x1+x2)/2+p^2/4}=
(2pk^2+2p)/(p^2k^2+p^2)=2/p
第五问：作AB重点C，过C作准线的垂线交准线与D，则由第二问可知|AC|=|BC|=
|AB|/2=(x1+x2+p)/2=pk^2+p,|CD|=p/2+(x1+x2)/2=pk^2+p,所以|AC|=|DC|,
所以△ADB是直角三角形，所以以AB为直径的园与准线相切。
作AF中点G，过G作y轴垂线交y轴于H，则|AG|=|FG|=|AF|/2=
根号{2px1+(x1-p/2)^2}=(x1+p/2)/2,|GH|=(x1+p/2)/2,所以|AG|=|GH|,所以△AHF是直角三角形，所以以AF为直径的园与y轴相切。
第六问：设角AMF=∠1，角BNF=∠2，角MFN=∠3，因为BN=BF,AF=AM,所以∠NFB=∠2，∠AFM=∠1，因为AM‖BN，所以∠AMN+∠BNM=180°（同旁内角互补），即
∠1+∠2+∠FMN+∠FNM=∠1+∠2+180°-∠3=180°，所以∠1+∠2=∠3，又∠AFB=180°，所以∠1+∠2+∠3=180°，所以∠3=90°=∠MFN。
设直线AK斜率为k1,则k1=y1/(x1+p/2)=y1/(ky1+p),设BK斜率为k2,则同理k2=y2/
(ky2+k),所以k1+k2=[2ky1y2+p(y1+y2)]/[(ky1+p)(ky2+p)]=0,又tan∠AKF=k1,
tan∠KBN=-k2,所以tan∠KBN=tan∠AKF，所以∠KBN=∠BKF（同位角）=∠AKF