Question

一道初三二次函数的题目

在平面直角坐标系中，已知点A坐标为（2，4），直线x=2与x轴相交于点B，连结OA，抛物线y=x^2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P.顶点M到点A点时停止移动。
1.求线段OA所在直线的函数解析式。
2.设抛物线顶点M的横坐标为m，则
（1）用m的代数式表示点P的坐标 （2）当m为何值时，线段PB最短。
3.当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q,使△QMA得面积与△PMA的面积相等，若存在，求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由。
图就不画了，求高手解答。最好过程详细。

Answer 1

1. O（0，0），A（2，4）直线OA：y=2x;
2,顶点M在直线OA上移动，M（m,2m）,m＞0，抛物线的方程y=(x-m)²+2m,，令x=2,带入抛物线y=4+m²-2m,P（2，4+m²-2m）;B（2，0），PB=m²-2m+4=(m-1)²+3，当m=1时，PB最短为3.
3.m=1时，抛物线方程为y=x²-2x+3,M(1,2),A(2,4),P（2，3）
S△PMA=½×（4-3）×（2-1）=1/2，MA=根号5，
①显然当Q与P重合时，△QMA得面积与△PMA的面积相等，Q（2，3）；
②设直线l :y=2x+b,Q在直线l上，要是，△QMA得面积与△PMA的面积相等，则直线l到直线OA的距离d=2S△PMA/MA=根号5/5,b=1或b=-1,当b=-1时，Q与P重合；当b=1时，y=2x+1与y=x²-2x+3