Question

已知函数f(x)=1/3ax^3-1/4x^2+cx+d(a、c、d∈R)满足f(0)=0,

已知函数f(x)=1/3ax^3-1/4x^2+cx+d(a、c、d∈R)满足f(0)=0,
f`(1)=0且f`(x)≥0在R上恒成立。
（1）求a、c、d的值；
（2）若h(x)=3/4x^2-bx+2/b-1/4,解不等式f`(x)+h(x)<0;
（3）是否存在实数m，使函数g(x)=f`(x)-mx在区间【m,m+2】上有最小值-5？若存在，请求出实数m的值，若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)
由f(0)=0 可得 d=0
f'(1)=0 可得 a-1/2+c=0 即 a+c=1/2
还可知f'(x)=ax^2-1/2x+c是以x=1点为底点开口向上的二次函数。所以判别式1/4-4ac=0 ac=1/16
与上式联立解出a，c 有a=1/4 c=1/4
a=1/4 c=1/4 d=0
(2)
f(x)=1/12x^3-1/4x^2+1/4x
f'(x)=1/4x^2-1/2x+1/4
h(x)=f'(x)+h(x)=x^2-(b+1/2)x+b/2<0
(x-1/2)(x-b)<0
于是x∈(1/2,b) 当b>1/2 或x∈(b,1/2)当b<1/2
(3)
g(x)=1/4x^2-(1/2+m)x+1/4
4g(x)=x^2-(2+4m)x+1
求导得驻点
4g'(x)=2x-(2+4m)
令4g'(x)=0 有 x-(1+2m)=0
x=(1+2m) 此为驻点
若x=(1+2m)在[m,m+2]区间内，极值存在
将x=(1+2m)带入求出极小值
4g(1+2m)=(1+2m)^2-2(1+2m)^2+1=-(1+2m)^2+1
将极小值为-5条件带入
4g(1+2m)=-(1+4m+4m^2)+1=4*-5=-20
4m^2+4m=20
m^2+m=5
m^2+m-5=0
解出m
m=[-1±√(1+20)]/2

若1+2m不属于[m,m+2]，此时极值不存在
此时 1+2m<m m<-1
1+2m>m+2 m>1

比较上面求出的m值，显然有m=[-1±√(1+20)]/2<(-1-√16)/2=-5/2<-1
m=[-1±√(1+20)]/2>(-1+√16)/2=3/2>1

综上所述，满足条件的m不存在

Answer 2

rsdtfdg