Question

函数y=1/3x³-1/2ax²+（a-1)x+1

在区间（1，4）内为减函数，在（6，正无穷）为增函数，求a的取值范围
我真的快急死了，好心人帮下忙！

Answer 1

y′=x²-ax+（a-1)

先讨论减函数的情况：
y′=x²-ax+（a-1)可以形成一个抛物线。要讨论的是这个抛物线在（1，4）中是小于0的
中轴线 x=a/2
(1)当中轴线 x=a/2在x=1的左边时：
a/2≤1
a≤2
此时整个右边为增函数，最大值为x=4时，且这时要≤0
16-4a+(a-1)≤0
a≥5 (不符合条件)
(2)当中轴线 x=a/2在(1,4)时
2＜a＜8
此时最小值为f(a/2)≤0，f(1)≤0,f(4)≤0
f(a/2)=[-a²+4a-4]/4 ≤0
a²-4a+4≥0
(a-2)²≥0
a属于R
且f(1)≤0 a属于R
且f(4)≤0 a≥5
所以，总的是 5≤a＜8

(3)当中轴线 x=a/2在x=4的右边时：
a/2≥4
a≥8
此时抛物线在（1，4）上为减函数，最大值为x=4时，且这时要≤0
1-a+(a-1)≤0
所以此时：a≥8

由三者结合得到：a≥5时y′=x²-ax+（a-1)在（1，4）上＜0， y=1/3x³-1/2ax²+（a-1)x+1 在（1，4）上为减函数

下面讨论增函数情况：
（1）当中轴线 x=a/2在x=6的左边时：
a≤12
此时，在y′在（6，∞）上为增函数，最小值为f(6) = 36-6a+(a-1)≥0
a≤7
(2)当中轴线 x=a/2在x=6的右边时：
a≥12
此时，在y′在（6，∞）最小值为f(a/2)=[-a²+4a-4]/4 ≥0
（a-2）²≤0(不符合条件)

所以由上可知： a≤7时，y′=x²-ax+（a-1)在（6，∞）上＞0， y=1/3x³-1/2ax²+（a-1)x+1 在（6，∞）上为减函数

由上可知，a≥5且a≤7.
所以： 5≤a≤7

这个题就是计算复杂，你检查一下计算。能把y′图画出来，在区间上左右移动看看就简单了。

Answer 2

求导

Answer 3

对y求导数，
y'=x^2-ax+a-1
在区间（1，4）内为减函数,表明导数在此区间内是小于0的。
y'=(x-1)(x-a+1)
y'<0
解得1<x<a-1
所以a-1≥4
a≥5

在（6，正无穷）为增函数
6≥a-1
a≤7

所以最终a的范围是a∈[5,7]