Question

线性代数的基础解系

基础解系的定义我是明白的，从这道题给我讲一下，怎样确定线性方程的基础解系：-4 1 1，这个和-4 1 1的解得表示方法不一样的。我不知道我说清楚没
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有，我就是想知道一般求基础解系的方法，谢谢！

Answer 1

一般求基础解系先把系数矩阵进行初等变换成下三角矩阵，然后得出秩，确定自由变量，得到基础解系,基础解系是相对于齐次(等号右边为0)的.
例如:x1+x2+x3+7x4=2,x1+2x2+x3+2x4=3,5x1+8x2+5x3+20x4=13,2x1+5x2+2x3-x4=7,其增广矩阵为
1 1 1 7 2
1 2 1 2 3
5 8 5 20 13
2 5 2 -1 7
通过初等变换为:
1 1 1 7 2
0 1 0 -5 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
秩为2，未知数个数为4，自由变量个数为4-2=2
不妨设自由变量为x3、x4,取(x3,x4)=(1,0)和(0,1)代入方程组(取最终变换得到的比较简单)可得:(x1,x2)=(-1,0)和(-12,5)
于是基础解系的基:(-1,0,1,0)T和(-12,5,0,1)T.
非齐次方程组的一个特解:(1,1,0,0)T
于是非齐次方程组的解:k1(-1,0,-1,0)T+k2(-12,5,0,1)T+(1,1,0,0)T

Answer 2

基础解系在线性代数中较抽象，这里举二个例子说明基础解系的求解方法。掌握这二种方法相关题目迎刃而解

【例1】采用《下加全0行》方法。

【例2】采用《插入全0行》方法。

Answer 3

1、对系数矩阵A进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵；
2、若r(A)=r=n（未知量的个数），则原方程组仅有零解，即x=0，求解结束；
若r(A)=r<n（未知量的个数），则原方程组有非零解，进行以下步骤：
3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵，并写出同解方程组；
4、选取合适的自由未知量，并取相应的基本向量组，代入同解方程组，得到原方程组的基础解系

Answer 4

齐次线性方程组ax=0与b=ap，a=(a1,a2,a3)出现了同样的a，题目有问题！！
一方面，|p|不为0时，即p可逆，则有r(b)=r(ap)=r(a),（后一个等式在书上是有定理保证的）；已知“a1,a2,a3是某个齐次线性方程组ax=0的基础解系”，故a1,a2,a3是线性无关的，即r(a)=r(a1,a2,a3)=3,(3行3列的，列满秩)，于是r(b)=r(a)=3。
另一方面，既然基础解系存在，ax=0有非零解，其必要条件是系数矩阵行列式|a|=0，于是r(a)<3，矛盾！

Answer 5