Question

线性代数的基础解系

基础解系的定义我是明白的，从这道题给我讲一下，怎样确定线性方程的基础解系：-4 1 1，这个和-4 1 1的解得表示方法不一样的。我不知道我说清楚没
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有，我就是想知道一般求基础解系的方法，谢谢！

Answer 1

引用stormtrooper01的回答：
一般求基础解系先把系数矩阵进行初等变换成下三角矩阵，然后得出秩，确定自由变量，得到基础解系,基础解系是相对于齐次(等号右边为0)的.
例如:x1+x2+x3+7x4=2,x1+2x2+x3+2x4=3,5x1+8x2+5x3+20x4=13,2x1+5x2+2x3-x4=7,其增广矩阵为
1 1 1 7 2
1 2 1 2 3
5 8 5 20 13
2 5 2 -1 7
通过初等变换为:
1 1 1 7 2
0 1 0 -5 1
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
秩为2，未知数个数为4，自由变量个数为4-2=2
不妨设自由变量为x3、x4,取(x3,x4)=(1,0)和(0,1)代入方程组(取最终变换得到的比较简单)可得:(x1,x2)=(-1,0)和(-12,5)
于是基础解系的基:(-1,0,1,0)T和(-12,5,0,1)T.
非齐次方程组的一个特解:(1,1,0,0)T
于是非齐次方程组的解:k1(-1,0,-1,0)T+k2(-12,5,0,1)T+(1,1,0,0)T

还没有变成最简行呢

Answer 2

楼上高票回答已经很好很好了。我就再补充一下(・_・ヾ还是按照上面的例子，
x1+x2+x3+7x4＝2
x1+2x2+x3+2x4＝3
5x1+8x2+5x3+20x4＝13
2x1+5x2+2x3-x4＝7
它的相应矩阵为
1 1 1 7 2
1 2 1 2 3
5 8 5 20 13
2 5 2 -1 7
线性变换为
1 1 1 7 2
0 1 0 -5 1
0 0 0 0
0 0 0 0
可以看到，
R（A）＝R（A，b）＝2＜n＝4
有无穷多解，而解系就是针对这种情况的
再第一行减去第二行化成最简阶梯
1 0 1 12 1
0 1 0 -5 1
0 0 0 0
0 0 0 0
得到x1＝-x-12x4+1 ，x2＝5x4+1
x3与x4为任意常数，设为（1，0）T，（0，1）T，x1与x2的常数项为1，x3x4为任意常数，则特解就为（1.1.0.0）T
故而得到解系
（x1.x2.x3.x4）T＝C1（-1.0.1.0）T＋
C2（-12.5.0.1）T＋（1.1.0.0）T