Question

极限问题，定积分

下面2个极限里有定积分的问题，求解
极限的符号我没打好，第一题是lim x趋近于0
第二题是lim x趋向正无穷

Answer 1

楼主请看图 图一会就好 点击放大

备注：当x->无穷大时，lim arctanx=π/2

Answer 2

但是第二题是不是打错了，定积分符号后面的不应该以x做变量吧，我想应该也和第一题一样用t比较合适吧

第一题使用洛比达法则，因为上下都趋近于0，所以上下同时求导，得：(sinx)^2/3x^2,结果为1/3

第二题分子先用分部积分化一下：[x*arctanx-1/2ln(x^2+1)]/根号下(x^2+1)

arctanx可以直接化作π/2

设x=1/a,则a趋近于0（a大于0），
则原式化为{π/2*1/a*a-a/2[ln(a^2+1)-2lna]}/根号下(a^2+1)

分母为1，消失，ln(a^2+1)为0，消失。

于是化作π/2+alna，后面那项变为lna/(1/a),用洛比达做，直接得0，所以结果为π/2

Answer 3

答案是0。
因为这是变上限定积分，只有"不定积分"的结果才能＋任意常数C。

Answer 4

分别为1，2