Question

微积分问题求助

1.证明：f(x)=sin1/x在定义域内连续

2.证明：若f:D∈R→R连续，则|f|:D→R,|f|(x)=|f(x)|连续。反之未必成立，试举例说明

3.确定a,b，使在定义域内连续
[(根号1-ax)-1]/x x<0
f(x)={ ax+b 0≤x≤1
arctan2/(x+1) x>1

4.指出下列不连续点，并确定分类
①f(x)=[x]sin1/x

cosπx/2 |x|≤1
②f(x)={ |x-1| x>1

③f(x)=1/{1-8*2^[1/(x-1)]}

Answer 1

1.证明：设x'是f(x)定义域中任意一点，对于任意epsilon>0,要找delta>0,使得|x-x'|<delta时，|sin1/x-sin1/x'|<epsilon
由和差化积公式，|sin1/x-sin1/x'|=|2cos[(1/x'+1/x)/2]*sin[(1/x-1/x')/2]|=<2*|sin[(1/x-1/x')/2]|=<|1/x-1/x'|=|(x-x')/x*x'|
只要使得|(x-x')/x*x'|<epsilon就可以了。
为了将上面不等式左边放大，加上条件|x-x'|<x'/2,于是x>x'/2,从而x*x'>x'^2/2,
取delta=min{x'/2,x'^2*epsilon/2},当|x-x'|<delta时，|f(x)-f(x')|<epsilon
故连续。
2，证明：“=>”，因为f(x)连续，所以对于任意x'属于D，任意epsilon>0,存在delta>0,使得|x-x'|<delta时，|f(x)-f(x')|<epsilon,从而对于对于上述x',epsilon,delta,当|x-x'|<delta时
||f(x)|-|f(x')||<=|f(x)-f(x')|<epsilon,从而|f|连续
反例：f(x)=1,x属于[2k，2k+1）时，f(x)=-1，x属于[2k+1，2k+2）时，k属于整数。|f|恒为1，连续，但是显然f(x)不连续。
3，此函数为分段函数，各分段函数在其定义域内都是连续的，整个函数要连续关键在于分段处，左右极限要相等。ax+b 0≤x≤1 在零处的右极限为b，从而[(根号1-ax)-1]/x x<0 在0处的左极限（用洛必达法则）=-a/2=b
ax+b 0≤x≤1 在1处的左极限为a+b，而arctan2/(x+1) x>1 在1处的右极限pi/4=a+b，解得a=pi/2，b=-pi/4。
4，①f(x)=[x]sin1/x
不连续点：整数点。均为第二类不连续点。其中0点右极限存在为0，左极限不存在。1点，左极限为0，右极限不存在。
其余的整数点处左右极限都不存在。总之为第二类不连续点
②
cosπx/2 |x|≤1
f(x)={ |x-1| x>1
不连续点：0，1。1为第一类不连续点，因为左右极限都存在但不相等。左极限为-1/2，右极限为0。
0为第二类不连续点。因为左右极限都不存在。
③f(x)=1/{1-8*2^[1/(x-1)]}
不连续点：1，2/3。
1为第一类不连续点，因为1点右极限为0，左极限为1。
2/3为第二类不连续点，因为2/3处左右极限都不存在。