Question

∫上限1下限0 1/ √[（x^2+1)^3] dx

如题，过程
算到∫上限π/4 下限0 sec^2t ^（-1/2）dt 后面是什么啊

Answer 1

令x=tank,则k=arctanx,k的积分下限为0，上限为π/4(以下无上下限标注的均是这个值)
原式=∫(1+x^)^(-3/2)dx
=∫(1+tan^k)^(-3/2)d(tank)
=∫(sec^k)^/(-3/2)*sec^k dk
=∫(seck)^(-3) * sec^k dk
=∫(seck)^(-1) dk
=∫coskdk
=sink（k下限为0，上限为π/4)
=sin(π/4)
=√2/2

楼主是想说我设了x=tank的话，dx=d(tank)=seckdk吧？，这样就错了！因为tan的导数恰好是sec^x！别忘了平方！证明如下：
d(tank)=d(sink/cosk)=[(sink)'*cosk-(cosk)'*sink]/cos^k dk
=(cos^k+sin^k)/cos^k dk=(1/cos^k) dk=sec^kdk

楼主你是不是就是因为把tan的导数弄少了一个平方，才往下做不下去的？

我晕，楼主我还真不知道你怎么没学关于三角的公式：1+tan^x =sec^x
证明如下：1+tan^x=1+ sin^x/cos^x=(sin^x+cos^x)/cos^x=1/cos^x=sec^x
我想有了这个公式，你就知道我这些步骤是怎么得来的了吧？
我觉得你答案不对，我的答案应该没错，具体的你可以到百度Hi上找我，我已经在那里给你留言了！！

最后一次给你留言，就看看能不能让你明白了
楼主算到sec^2t ^（-1/2）dt
这个式子也就是∫ [(sect)^2]^(-1/2) dt
也就是sect先做2次方，再做(-1/2)次方的运算
根据指数运算法则，则等于sect的[2*(-1/2)]次方，也就是sect的-1次方，就相当于1/sect，等于cost
对cost取积分，自然是sint，代入上下限，就是sin(π/4)-sin0=√2/2

楼主，说句实话，就算你让别的人来解，我想结果也不会有什么不同，你有个最大的缺点，就是基础稍微薄弱一些，比如说，此题通常的做法是先把复杂的指数关系统一起来，化成一个简单的指数形式，但是你却一直带着各种平方，多少次方在运算，这样很容易出错误
当然，每个人习惯不同，我也无意于说你的想法不对，不好，不妥，但是别人的意见有的时候还是可取的，我们思路对不上很大程度上是因为都不肯听对方的，我是实在觉得有的时候你表达的过程我看不懂，所以多次打断你，而你自始至终和我想的不一样
算了，就说这么多，希望你能解决这道题，祝你好运了