Question

∫e^(2x)*(sinx)^2dx用分部积分法求解详细过程

做了两次分部积分又回到原来的积分且不能通过移项解方程的方法求出待解积分，请高手解疑！

Answer 1

∫e^(2x)*(sinx)^2dx,你最后肯定是求∫e^(2x)*(cos2x)dx的时候卡住了，是吧，这样，令t=2x,则只用求∫(e^t)costdt了，令I=∫e^tcostdt=∫costde^t=e^tcost-∫e^tdcost=e^tcost+∫e^tsintdt=e^tcost+∫sintde^t=e^tcost+e^tsint-∫e^tdsint=e^t(cost+sint)-∫e^tcostdt=e^t(cost+sint)-I,会了吧？

Answer 2

∫e^(2x)*sin²xdx
=½∫e^(2x)(1-cos2x)dx
=½∫e^(2x)dx - ½∫e^(2x)cos2xdx
=½∫e^(2x)dx - ½∫e^(2x)cos2xdx

∫e^(2x)cos2xdx
=½∫e^(2x)d(sin2x)
=½e^(2x)(sin2x)-½∫(sin2x)de^(2x) + C
=½e^(2x)(sin2x)-∫e^(2x)(sin2x)dx + C
=½e^(2x)(sin2x)+½∫e^(2x)d(cos2x) + C
=½e^(2x)(sin2x)+½e^(2x)(cos2x)-½∫(cos2x)de^(2x) + C
=½e^(2x)(sin2x)+½e^(2x)(cos2x)-∫e^(2x)(cos2x)dx + C

2∫e^(2x)cos2xdx = ½e^(2x)(sin2x)+½e^(2x)(cos2x) + C
∫e^(2x)cos2xdx = ¼e^(2x)[sin2x+ cos2x] + C

∫e^(2x)*sin²xdx
=½∫e^(2x)dx - ½∫e^(2x)cos2xdx
=½∫e^(2x)dx - ½[¼e^(2x)(sin2x + cos2x)] + C
=½∫e^(2x)dx - ⅛[e^(2x)(sin2x + cos2x)] + C
=¼e^(2x) - ⅛[e^(2x)(sin2x + cos2x)] + C
=⅛e^(2x)[2 - sin2x - cos2x)] + C